运算方法

无符号数和有符号数

无符号数

• 寄存器的位数：反映无符号数的范围
• 0 ~ $2^n$

有符号数

机器数和真值

• 符号"数字化"的数，称为机器数
• 带"+","-"符号的数，称为真值

原码表示法

• 符号位0表示正数，符号位1表示负数
• 数值位即真值的绝对值
  • 整数的符号与数值之间用**逗号","**隔开
  • 小数的符号位与数值之间用**小数点"."**隔开
• $[+0]_{原}(0.0) \neq [-0]_{原}(1.0)$，原码的0有两种形式

补码表示法

• 补的概念：一个负数加上 “模” 即得该负数的补数
• 求补码：
  • 正数：不变
  • 负数：原码(除符号位)求反 + 1 (反码+1)
• $[-1.0000]_{补} = 1.0000$，因为补码0只有一种，所以可以多表示一位数字
• $[+0]_{补}(0.0) = [-0]_{补}(0.0)$，补码的0只有一种

反码表示法

• 补码和原码之间互相转换的中间过渡
• 求反码：
  • 正数：不变
  • 负数：原码(除符号位)求反
• $[+0]_{反}(0.0) \neq [-0]_{反}(1.0)$，反码的0有两种形式

三种机器数小结

• 最高位均为符号位。符号位和数值部分用逗号",“或小数点”."(书写时，实际不存在)
• 正值三码合一，即符号位"0"，数值部分为真值
• 负值三种方式均不同，但符号位均"1"
  • 补码是原码的"求反加1"
  • 反码是原码的"每位求反"
• 不论正负，$[-y]_{补}$是：$[y]_{补}$连同符号位在内，每位求反，末位加1

移码表示法

• 移码：在真值上加上一个常数 $2^n$，与 补码仅差一个符号位 ，将补码的符号位取反即得到移码
• $[+0]_{移}(1.0) = [-0]_{移}(1.0)$，移码的0只有一种

定点表示和浮点表示

定点表示

• 小数点固定在某一位置的数为定点数
• 数值部分决定了定点机中数的表示范围

浮点表示

• $N = S \times r ^ j$

  • S 尾数：小数，可正可负
  • j 阶码：整数，可正可负
  • r 基数：固定，与计算机有关，取2，4，8，16 ……

• 

• 

  • 上溢中断，下溢为机器0

• 浮点数的规格化形式(原码)

  • r = 2 ：尾数最高位为 1
  • r = 4 ：尾数最高2位不全为0
  • r = 8 ：尾数最高3位不全为0
  • 基数不同，浮点数的规格化形式不同

• 浮点数的规格化

  • r = 2
    • 左规：尾数左移 1 位，阶码减 1
    • 右规：尾数右移 1 位，阶码加 1
  • 基数 r 越大，可表示的浮点数的范围越大
  • 基数 r 越大，浮点数的精度降低
  • 规格化后范围变小

• 机器零：

  • 当浮点数 尾数为 0 时，不论其阶码为何值按机器零处理
  • 当浮点数 阶码等于或小于它所表示的最小数 时，不论尾数为何值，按机器零处理

• IEEE 754标准：尾数为规格化表示，非 “0” 的有效位最高位为 “1”（隐含）

定点运算

移位运算

1. 移位的意义：和加减配合，实现乘除
   • 数值相对于小数点移动，而不是小数点移动
2. 算术移位规则
   • 正数：补0
   • 负数：
     • 原码：补0
     • 补码：左移补0，右移补1
     • 反码：补1
3. 算术移位和逻辑移位
   • 算术移位：无符号数
   • 逻辑移位：有符号数

加减法

1. 加法：A+B
   • 整数：$[A]_{补} + [B]_{补} = [A+B]_{补}(mod 2^{n+1})$
   • 小数：$[A]_{补} + [B]_{补} = [A+B]_{补}(mod 2)$
2. 减法：A-B
   • 转化为$[-B]_{补}$，就变成了加法

• 连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉

3. 溢出判断
   1. 一位符号位判溢出
      • 两个数符号相同，结果变号即溢出
   2. 两位符号位判溢出
      • 双符号位相同，未溢出；不同则溢出
      • 最高符号位代表其真正的符号

乘法运算

1. 分析笔算乘法
   • 符号位单独处理
   • 乘数的某一个决定是否加被乘数
   • 乘积位数扩大一倍
2. 笔算乘法改进
   • 乘法运算可用加和移位实现
   • 由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后：➡1位形成新的部分积，同时：乘数➡1位(末位移丢)，空出的高位存放部分积的地位
   • 被乘数只与部分积的高位相加
   • 3个寄存器，其中2个具有移位功能；1个全加器

原码乘法

原码一位乘

• 乘积的符号位单独处理 $x_{0} \oplus y_{0}$
• 数值部分为绝对值相乘 $x^* \times y^*$
• 用 逻辑移位 的次数 (乘数位数) 判断乘法是否结束

原码两位乘

• 原码乘：符号位和数值位部分分开运算

• 两位乘：每次用 乘数的 2 位判断 原部分积，是否加和如何加被乘数

  乘数$y_{n-1}y_{n}$	新的部分积
  00	加"0"，➡2位
  01	加1倍的被乘数，➡2位
  10	加2倍的被乘数，➡2位
  11	加3倍的被乘数，➡2位

  • 如何加3倍的被乘数：先减一倍，再加四倍

• 绝对值的补码运算，采用补码右移：因为要用到减法，所以采用补码运算

• 用 算术移位 的次数判断乘法是否结束

比较

异同处	原码一位乘	原码两位乘
符号位	$x_{0} \oplus y_{0}$	$x_{0} \oplus y_{0}$
操作数	绝对值	绝对值的补码
移位	逻辑右移	算术右移
移位次数	$n$	$\frac{n}{2}$(n为偶数)
最多加法次数	$n$	$\frac{n}{2}+1$(n为偶数)

• n为奇数：最高位补0，就变成了偶数个

补码乘法

1. 补码一位乘
2. Booth算法(被乘数、乘数符号任意)

小结

1. 整数乘法与小数乘法完全相同
2. 原码乘：符号位单独处理
3. 补码乘：符号位自然形成
4. 原码乘去掉符号位运算，即为无符号数乘法

浮点四则运算

浮点加减运算

1. 对阶
   1. 求阶差
   2. 对阶原则：小阶向大阶看齐
2. 尾数求和
3. 规格化
   1. 定义：r = 2：$\frac{1}{2} \leq \left| S \right| \leq1$
   2. 判断：
      • 原码：不论正数、负数，第一数位为1
      • 补码：符号位和第 一数位不同
      • 特例：
        • $[-\frac{1}{2}]_{补} = 1.10..0$ 不是规格化数
        • $[-1]_{补} = 1.00..0$ 是规格化数
   3. 左规：尾数左移一位，阶码减 1，直到数符和第一数位不同为止
   4. 右规：尾数溢出时，即尾数为：01.xxx或10.xxx时，尾数右移一位，阶码加 1
4. 舍入：在对阶和右规过程中，可能出现尾数末位丢失引起误差，需考虑舍入
   1. 0舍1入法
   2. 恒置1法

浮点乘除运算

• $x = S_{x} \times 2^{j_{x}}$
• $y = S_{y} \times 2^{j_{y}}$

1. 乘法：$x \times y = (S_{x} \times S_{y}) \times 2^{j_{x}+j_{y}}$
2. 除法：$\frac{x}{y} = \frac{S_{x}}{S_{y}} \times 2^{j_{x}-j_{y}}$
3. 步骤：
   1. 阶码采用 补码定点加(乘法)减(除法) 运算
   2. 尾数乘除同定点运算
   3. 规格化